Optimal Trading Strategi Og Supplydemand Dynamikk

Optimal handelsstrategi og SupplyDemand Dynamics NBER Working Paper nr. 11444 Utgitt i juni 2005 NBER Program (er): AP Leverandøren av en sikkerhet i markedet er en intertemporal, ikke en statisk gjenstand, og dens dynamikk er avgjørende for å bestemme markedsdeltagernes handel oppførsel. Tidligere studier om den optimale handelsstrategien for å utføre en bestemt ordre fokuserer hovedsakelig på leverandørens statiske egenskaper. I dette papiret viser vi at leverandørens dynamikk er av avgjørende betydning for den optimale utførelsesstrategien, spesielt når handelstider er endogent valgt. Ved å bruke et grenseordre-marked, utvikler vi et enkelt rammeverk for å modellere dynamikken til supplydemand og dens innvirkning på eksekverings kostnad. Vi viser at den optimale utførelsesstrategien innebærer både diskrete og kontinuerlige handler, ikke bare kontinuerlige handler som tidligere arbeid foreslått. Kostnadsbesparelsene fra den optimale strategien over den enkle, kontinuerlige strategien kan være betydelige. Vi viser også at prognosene om optimal tradingadferd kan ha interessante implikasjoner på den observerte virkemåten av intradagvolum, volatilitet og priser. Dokument Object Identifier (DOI): 10.3386w11444 Publisert: Obizhaeva, Anna A. Wang, Jiang, 2013. Optimal handelsstrategi og supplydemand dynamikk, Journal of Financial Markets, Elsevier, vol. 16 (1), side 1-32. citation courtesy of Brukere som lastet ned dette papiret, lastet også ned disse: Biais and WeillOptimal handelsstrategi og supplydemand-dynamikk I dette papiret studerer vi hvordan intertemporal supplydemand for en sikkerhet påvirker handelsstrategien. Vi utvikler et generelt rammeverk for et grenseordremarked for å fange dynamikken til supplydemand. Vi viser at den optimale strategien for å utføre en ordre ikke er avhengig av leverandørens statiske egenskaper, som for eksempel budspredning og markedsdybde, avhenger det av deres dynamiske egenskaper som motstandskraft: hastigheten som forsyningsdemannen gjenoppretter til sin steady state etter en handel . Generelt er den optimale strategien ganske kompleks, blander store og små handler, og kan redusere kjørekostnaden betydelig. Store handler fjerner eksisterende likviditet for å tiltrekke seg ny likviditet, mens småhandler tillater næringsdrivende å absorbere ytterligere innkommende likviditetsstrømmer. Hvis du opplever problemer med å laste ned en fil, må du kontrollere om du har det riktige programmet for å se det først. I tilfelle av flere problemer, les IDEAS hjelpesiden. Vær oppmerksom på at disse filene ikke er på IDEAS-siden. Vær tålmodig da filene kan være store. Siden tilgangen til dette dokumentet er begrenset, kan det være lurt å se etter en annen versjon under Beslektet forskning (lenger nedenfor) eller søke etter en annen versjon av den. Andre versjoner av denne artikkelen: Finn relaterte artikler ved JEL-klassifisering: G00 - Finansiell økonomi - - Generelt - - - Generell G11 - Finansiell økonomi - - Generelle finansmarkeder - - - Porteføljevalg Investeringsbeslutninger G12 - Finansiell økonomi - - Generelle finansmarkeder - - - Kapitalpriser Handelsvolum Bond Obligasjonsrente Referanser notert på IDEAS Vennligst rapporter referanse eller referansefeil til. eller. Hvis du er registrert forfatter av det oppgitte arbeidet, logg deg på RePEc Author Service-profilen. klikk på sitater og foreta passende justeringer. Dimitri Vayanos, 1999. Strategisk handel og velferd i et dynamisk marked, LSE Research Online Dokumenter om økonomi 449, London School of Economics and Political Science, LSE Library. Når du ber om en korreksjon, vær oppmerksom på at disse elementene håndterer: RePEc: eee: finmar: v: 16: y: 2013: i: 1: p: 1-32. Se generell informasjon om hvordan du retter materiale i RePEc. For tekniske spørsmål angående dette elementet, eller for å rette opp forfatterens, tittel, abstrakt, bibliografisk eller nedlastingsinformasjon, kontakt: (Shamier, Wendy) Hvis du har skrevet dette produktet og ennå ikke er registrert hos RePEc, oppfordrer vi deg til å gjøre det her . Dette gjør det mulig å koble profilen din til dette elementet. Det tillater deg også å akseptere potensielle sitater til dette elementet som vi er usikre på. Hvis referanser mangler helt, kan du legge til dem ved hjelp av dette skjemaet. Hvis de fulle referansene viser et element som er til stede i RePEc, men systemet ikke lenker til det, kan du hjelpe med dette skjemaet. Hvis du vet om manglende elementer som citerer denne, kan du hjelpe oss med å opprette disse linkene ved å legge til de relevante referansene på samme måte som ovenfor, for hvert referanseelement. Hvis du er en registrert forfatter av dette elementet, kan du også sjekke tittelfanen i profilen din, da det kan være noen henvisninger som venter på bekreftelse. Vær oppmerksom på at rettelser kan ta noen uker å filtrere gjennom de ulike RePEc-tjenestene. Flere tjenester Følg serier, tidsskrifter, forfattere mer Ny nyhetsbrev via e-post Abonner på nye tilføyelser til RePEc Forfatterregistrering Offentlige profiler for økonomiforskere Forskjellige forskningsrangeringer i økonomi-relaterte felt Hvem var student av hvem ved hjelp av RePEc RePEc Biblio Curated articles amp papirer på ulike økonomi-emner Last opp papiret ditt for å bli oppført på RePEc og IDEAS EconAcademics Bloggaggregat for økonomiforskning Plagiering Sager av plagiering i økonomi Arbeidsmarkedspapirer RePEc arbeidspapirserier dedikert til arbeidsmarkedet Fantasy League Låt deg være i roret av en økonomi Avdelingstjenester fra StL Fed Data, forskning, applikasjoner mer fra St. Louis FedOptimal Trading Strategy og SupplyDemand Dynamics Abstract: Leverandøren av en sikkerhet i markedet er en intertemporal, ikke en statisk gjenstand, og dens dynamikk er avgjørende for å bestemme markedsdeltakere trading oppførsel. Tidligere studier om den optimale handelsstrategien for å utføre en bestemt ordre fokuserer hovedsakelig på leverandørens statiske egenskaper. I dette papiret viser vi at leverandørens dynamikk er av avgjørende betydning for den optimale utførelsesstrategien, spesielt når handelstider er endogent valgt. Ved å bruke et grenseordre-marked, utvikler vi et enkelt rammeverk for å modellere dynamikken til supplydemand og dens innvirkning på eksekverings kostnad. Vi viser at den optimale utførelsesstrategien innebærer både diskrete og kontinuerlige handler, ikke bare kontinuerlige handler som tidligere arbeid foreslått. Kostnadsbesparelsene fra den optimale strategien over den enkle, kontinuerlige strategien kan være betydelige. Vi viser også at prognosene om optimal tradingadferd kan ha interessante implikasjoner på den observerte virkemåten av intradagvolum, volatilitet og priser. Publisert som Obizhaeva, Anna A. Wang, Jiang, 2013. Optimal handelsstrategi og supplydemand-dynamikk, Journal of Financial Markets, Elsevier, vol. 16 (1), side 1-32. Beslektede arbeider: Journalsartikkel: Optimal handelsstrategi og supplydemand dynamikk (2013) Denne varen kan være tilgjengelig andre steder i EconPapers: Søk etter varer med samme tittel. Eksportreferanse: BibTeX RIS (EndNote, ProCite, RefMan) HTMLText Bestillingsinformasjon: Dette arbeidspapiret kan bestilles fra nber. orgpapersw11444 Flere papirer i NBER Working Papers fra National Bureau of Economic Research, Inc National Bureau of Economic Research, 1050 Massachusetts Avenue Cambridge , MA 02138, USA Kontaktinformasjon på EDIRC. Serie data vedlikeholdt av (). Optimal handelsstrategi og supplydemand dynamikk Anna A. Obizhaeva a, 1. Jiang Wang b, c, d ,. en Robert H. Smith Business School, University of Maryland, 4428 Van Munching Hall, College Park, MD 20742, USA b Sloan School of Management, MIT, 100 Main Street, Cambridge, MA 02142, USA c CAFR, Kina d NBER, USA Mottatt 28. juli 2012. Tilgjengelig online 12. september 2012. I dette papiret studerer vi hvordan intertemporal supplydemand for en sikkerhet påvirker handelsstrategien. Vi utvikler et generelt rammeverk for et grenseordremarked for å fange dynamikken til supplydemand. Vi viser at den optimale strategien for å utføre en ordre ikke er avhengig av leverandørens statiske egenskaper, som for eksempel budspredning og markedsdybde, avhenger det av deres dynamiske egenskaper som motstandskraft: hastigheten som forsyningsdemannen gjenoppretter til sin steady state etter en handel . Generelt er den optimale strategien ganske kompleks, blander store og små handler, og kan redusere kjørekostnaden betydelig. Store handler fjerner eksisterende likviditet for å tiltrekke seg ny likviditet, mens småhandler tillater næringsdrivende å absorbere ytterligere innkommende likviditetsstrømmer. Likviditetshandel Optimal ordreutførelse Grenseordre JEL-klassifisering 1 Innledning Leverandør av finansielle verdipapirer er generelt ikke helt elastisk. 2 Hvilken handelsstrategi er optimal i et marked med begrenset forsyningspligt eller likviditet Hvordan påvirker ulike aspekter av leverandørdemand den optimale strategien Hvor viktig er kostnadsbesparelser fra den optimale handelsstrategien Traders står overfor disse spørsmålene hver gang de handler. Svarene på disse spørsmålene er således avgjørende for vår forståelse av hvordan markedsdeltakere oppfører seg, hvordan likviditet blir tilbudt og konsumert, hvordan det påvirker sikkerhetspriser, og mer generelt hvordan verdipapirmarkeder fungerer. Vi nærmer oss dette problemet ved å fokusere på den optimale strategien til en næringsdrivende som må utføre en ordre over en gitt tidsperiode. 3 Dette problemet er også referert til som det optimale utførelsesproblemet. 4 Tidligere arbeid har gitt verdifull innsikt om hvordan likviditet påvirker handelsadferd fra markedsdeltakere (for eksempel Bertsimas og Lo, 1998. Almgren og Chriss, 1999 og Huberman og Stanzl, 2005). Denne litteraturen har en tendens til å se supplydemand som et statisk objekt når man analyserer effekten på optimale handelsstrategier. Spesielt beskriver den etterspørselen eller forsyningen av en sikkerhet som står overfor en stor handel (avhengig av tegnet) ved å spesifisere en øyeblikkelig prispåvirkningsfunksjon (det vil si en tidsønsket kravtilførselsplan). Likviditeten er imidlertid dynamisk av sin natur. Vårt bidrag er å vise at det er de dynamiske egenskapene til supplydemand som sin tidevolusjon etter bransjer, i stedet for dens statiske egenskaper, som for eksempel spredning og dybde, som er sentrale for handelskostnadene og utformingen av optimal strategi. Vi foreslår et generelt rammeverk for å modellere leverandørens dynamikk. Vi vurderer et grenseordremarked, der leverandør av en sikkerhet er representert av grenseordrene som er lagt ut på boken, og handel skjer når kjøps - og salgsordre samsvarer. Vi beskriver formen på grenseordreboken og spesielt hvordan den utvikler seg over tid for å fange den intertemporale karakteren til supplydemand som en stor handelsmann står overfor. Vi velger å fokusere på grenseordremarkedet bare for enkelhets skyld. Vårt hovedmål er å demonstrere viktigheten av supplydemand-dynamikk ved å bestemme den optimale handelsstrategien, og våre hovedkonklusjoner er fortsatt gjeldende for andre markedsstrukturer. Vår modell inneholder eksplisitt tre grunnleggende egenskaper for likviditet som er dokumentert empirisk: budsjettspredning, markedsdybde og elastisitet. De to første funksjonene bidrar spredning og markedsdybde fanger de statiske aspektene av likviditet. De er relatert til formen på grenseordren, som bestemmer hvor mye dagens pris beveger seg som svar på en handel. Bidask spredning og markedsdybde er derfor nøkkelen for å bestemme transaksjonskostnaden som næringsdrivende pådrar seg når han utfører sine handler umiddelbart. Den tredje funksjonens motstandskraft gjenspeiler det dynamiske aspektet av likviditet. Motstandskraft er knyttet til hvordan fremtidige begrensningsordbøker utvikler seg som svar på gjeldende handel. Vi antar at begynnende prispåvirkning gradvis forsvinner over tid da nye likviditetsleverandører går inn for å fylle ut boken. Jo lenger unna dagens anførselstegn er fra steady state nivåer, legger de mer aggressive likviditetsleverandørene nye ordrer. Vi viser at den optimale strategien avgjørende avhenger av de dynamiske egenskapene til grenseordren. Strategien består av en første stor handel, etterfulgt av en rekke små handler, og en endelig diskret handel for å fullføre bestillingen. Kombinasjonen av store og små handler for optimal utførelsesstrategi er i skarp kontrast til de enkle strategiene for å dele en ordre jevnt i små handler, som antydet i tidligere studier (for eksempel Bertsimas og Lo, 1998 og Almgren og Chriss, 1999). Intuisjonen bak det komplekse handelsmønsteret er enkelt. Den første store handel er rettet mot å skyve grensebestemmelsesboken bort fra sin steady state for å tiltrekke seg nye likviditetsleverandører. Størrelsen på den store handel er valgt optimalt for å tegne tilstrekkelig antall nye ordrer, mens det ikke oppstår for høye transaksjonskostnader. De etterfølgende småhandler velger deretter innkommende ordrer og beholder tilstrømningen til ønskelige priser. En endelig diskret handel avslutter enhver gjenværende ordre i slutten av handelshorisonten når fremtidige krav ikke lenger er bekymret. Overraskende er den optimale strategien og kostnadsbesparelsen hovedsakelig avhengig av de dynamiske egenskapene til supplydemand og er ikke særlig følsom overfor deres statiske egenskaper beskrevet av øyeblikkelig prispåvirkning, som har vært hovedfokus i tidligere arbeid. Spesielt har hastigheten som grenseordreboken bygger på igjen etter å ha blitt rammet av en handel, det vil si bokens motstandsevne eller påfyllingshastighet, spille en kritisk rolle for å bestemme optimal utførelsesstrategi og kostnadene den sparer. Videre finner vi at kostnadsbesparelsene fra den optimale utførelsesstrategien kan være betydelige. Som en illustrasjon, la oss betrakte gjennomføringen av en størrelsesorden på 20 ganger markedsdybden innen en en-dags horisont. Under formuleringen av statisk supplydemand-funksjon i Bertsimas og Lo (1998) og Almgren og Chriss (1999). Den foreslåtte strategien er å spre ordren jevnt over tid. Men når vi tar hensyn til dynamikken til supplydemand, spesielt halvtid for grensordreboken for å gjenopprette etter å ha blitt rammet av handler, er utføringsprisen for bestillingen under optimal strategi lavere enn den jevne strategien. For eksempel, hvis halveringstiden for boken å gjenopprette er 0,90 minutter, som er relativt kort, er kostnadsbesparelsen 0,33. Det blir 1,88 når halveringstiden for utvinning er 5,40 minutter og 7,41 når halveringstiden for utvinning er 27,03 minutter. Det er klart at kostnadsbesparelser øker og blir betydelig når bønnens gjenopprettingstid øker. Mange forfattere har studert problemet med optimal ordreutførelse. For eksempel foreslår Bertsimas og Lo (1998) en lineær prispåvirkningsfunksjon og løser den optimale utførelsesstrategien for å minimere forventet kostnad for å utføre en bestemt ordre. Almgren og Chriss, 1999 og Almgren og Chriss, 2000 inkluderer risikovurderinger i en lignende setting. 5 Rammen som brukes i disse studiene er avhengig av statiske prispåvirkningsfunksjoner ved et sett av faste handelstider. Fastsetting av handelstider er tydelig uønsket fordi timingen av handler er en viktig valgvariabel og bør bestemmes optimalt. Enda viktigere er at de forhåndsdefinerte statiske prispåvirkningsfunksjonene ikke fanger oppleverandørens intertemporale karakter. De ignorerer hvordan handlingsbanen påvirker fremtidens utvikling av boken. For eksempel antar Bertsimas og Lo (1998) en lineær statisk prispåvirkning. Følgelig er den samlede prispåvirkningen av en sekvens av bransjer avhengig av deres totale størrelse og er uavhengig av deres fordeling over tid. Videre blir gjennomføringskostnaden strategisk uavhengig når hyppigere handel er tillatt. Almgren og Chriss, 1999 og Almgren og Chriss, 2000 og Huberman og Stanzl (2005) innfører en midlertidig prispåvirkning som en modifisering, som avhenger av tempoet i bransjen. Midlertidig prispåvirkning gir et dynamisk element til prispåvirkningsfunksjonen ved å straffe rask handel. Denne tilnærmingen begrenser imidlertid utførelsesstrategien til kontinuerlig handel, som generelt er suboptimal. Hva den forrige analysen ikke fullt ut fanger, er hvordan likviditeten fyller seg på markedet, samt hvordan det samhandler med bransjer. Vårt rammeverk beskriver eksplisitt denne prosessen ved å direkte modellere bokdynamikken i et grenseordremarked, som, som vi viser, er avgjørende for å bestemme optimal utførelsesstrategi. 6 I tillegg til det empiriske beviset, er den dynamiske oppførselen til boken vi prøver å fange, også i samsvar med likevektsmodellene i grensemarkedet. Ideen om likviditet som forbrukes av en handel og deretter etterfylles som flere likviditetsleverandører forsøker å dra nytte er bak de fleste av disse modellene. For eksempel, Foucault (1999). Foucault, Kadan og Kandel (2005). og Goettler, Parlor og Rajan (2005) bygger teoretiske modeller av begrensede bestillingsmarkeder, som viser forskjellige, men begrensede nivåer av motstandskraft i likevekt, avhengig av egenskapene til markedsdeltakere. 7 Nivået på motstandskraft gjenspeiler mengden skjult likviditet i markedet. Våre rammer gir oss mulighet til å fange dette dynamiske aspektet av leverandøren på en fleksibel måte og å undersøke optimal utførelsesstrategi under mer realistiske markedsforhold. Vår analyse er delvis likevekt i naturen, og tar dynamikken i grenseordren som gitt. Selv om vi ikke forsøker å gi en likevektsgrunnlag for den spesifikke begrensningsordboksdynamikken som brukes i papiret, gir rammene våre mer generell dynamikk. I oppfølgingsforskning har flere forfattere brukt dette rammeverket for å innlemme rikere bokadferd. For eksempel, Alfonsi et al. (2010) vurdere generelle, men kontinuerlige former for grenseordreboken og Predoiu, Shaikhet og Shreve (2010) tillater diskrete ordrer og mer generell dynamikk. Endogenisering av grenseordboksdynamikken i en full likevektsinnstilling er absolutt ønskelig, men utfordrende. Eksisterende likevektsmodeller, som de som er nevnt ovenfor, må sterkt begrense settet av aksepterbare ordre-plasseringsstrategier. For eksempel, Foucault, Kadan og Kandel (2005). Rou, 2008 og Rou, 2009 bare tillate bestillinger av en fast størrelse og Goettler, Parlor og Rajan (2005) fokuserer på one-shot strategier. Disse forenklinger er nyttige for å skaffe seg visse enkle egenskaper til boken, men de er ganske restriktive når de analyserer den optimale handelsstrategien. En mer generell og realistisk likevektsmodell må tillate generelle strategier. Fra dette perspektivet er vår analyse, nemlig å løse den optimale utførelsesstrategien under generell supplydemand-dynamikk, et viktig skritt i denne retningen. Resten av papiret er organisert som følger. Seksjon 2 angir det beste utførelsesproblemet. Seksjon 3 introduserer en rammeordre rammeverk. Seksjon 4 viser at den konvensjonelle innstillingen i tidligere arbeid kan betraktes som et spesielt tilfelle av rammen, med urealistiske antagelser og uønskede egenskaper. Seksjon 5 gir løsningen på et problem i diskret tid. Seksjon 6 gir løsningen på et problem i kontinuerlig tid. Seksjon 7 analyserer egenskapene og kostnadsbesparelsene til optimale strategier. Avsnitt 8 omhandler utvidelser. Seksjon 9 konkluderer. Alle bevis er gitt i vedlegget. 2 Erklæring om problemet Problemet vi er interessert i er hvordan en handelsmann best muliggjør en bestemt ordre. Vi antar at næringsdrivende må kjøpe X 0-enheter av sikkerhet over en fast tidsperiode. Anta at næringsdrivende fullfører ordren i bransjen til tider, hvor og. La betegne handelsstørrelsen for handelen på t n. Vi har da en strategi for å utføre bestillingen er gitt av antall handler, settet av handelstider og handelsstørrelser. La betegne settet med disse strategiene: Her har vi antatt at strategisettet består av utførelsesstrategier med et begrenset antall handler på diskrete tider. Dette gjøres bare for enkel sammenligning med tidligere arbeid. Senere vil vi utvide strategien satt til å tillate et utallige antall handler over tid også (seksjon 6). La indikere gjennomsnittlig eksekveringspris for handel. Selgeren velger sin utførelsesstrategi over en gitt handelshorisont T for å minimere forventet total kostnad ved kjøpet hans: Denne objektive funksjonen innebærer at den risikobrevne aktøren bare bryr seg om forventet verdi, men ikke usikkerheten om den totale kostnaden. Senere vil vi videre innlemme risikovurderinger (i § 8). Det er viktig å gjenkjenne at eksekveringsprisen for handel x n generelt vil avhenge ikke bare av x n. dagens handelsstørrelse, men også alle tidligere handler. En slik avhengighet gjenspeiler to dimensjoner av prispåvirkningen av handel. For det første endres sikkerheten nåværende leverandør. For eksempel, etter et kjøp av x-enheter av sikkerheten til gjeldende pris på, reduseres den gjenværende forsyningen av sikkerheten vanligvis. For det andre kan en endring i dagens leverandør påvirke fremtidig leverandør og dermed kostnadene for fremtidige bransjer. Med andre ord, er prispåvirkningen bestemt av den fullstendige dynamikken til supplydemand som svar på en handel. For å fullstendig kunne spesifisere og løse det optimale utførelsesproblemet, må vi derfor riktig modellere supplydemand-dynamikken. 3 Limit order book og supplydemand dynamikk Den faktiske leverandøren av en sikkerhet og dens dynamikk er avhengig av den faktiske handelsprosessen. Fra forskjellige markeder varierer handelsprosessen betydelig, alt fra et spesialisert marked, et forhandlermarked til et sentralisert elektronisk marked med en begrensningsordre. I dette papiret vurderer vi markedet for grenseordre. Men vår analyse er av generell karakter, og vi forventer at resultatene våre også vil være relevante for andre markedsstrukturer. 3.1 Grenseordre En grenseordre er en ordre om å handle et visst antall aksjer av en sikkerhet til en gitt pris. I et marked som drives gjennom en begrensningsordre (LOB), legger handelsmenn sine forsyningsbud i form av grenseordrer til et elektronisk handelssystem. 8 En handel skjer når en ordre, sier en kjøpsordre, går inn i systemet til en motsatt ordre på boken, i dette tilfellet en salgsordre. Samlingen av alle begrensede bestillinger kan ses som den totale etterspørselen og tilbudet i markedet. La være tettheten av grenseordrer å selge til pris P. og la være tettheten av grenseordrer å kjøpe til pris P. Antall salgsordrer i et lite prisintervall er. Vanligvis har vi hvor er de beste spørs - og budprisene, henholdsvis. Vi definerer hvor V er mid-quote-prisen og s er budspredningen. Så, og. Fordi vi vurderer utførelsen av en stor kjøpsordre, fokuserer vi på den øvre halvdelen av LOB og bare slipper abonnementet A. For å kunne modellere utførelseskostnaden for en stor ordre, må vi spesifisere den første LOB og hvordan den utvikler seg etter å ha blitt rammet av en rekke kjøpskunder. La LOB (den øvre halvdelen av det) på tidspunktet t være, hvor F t betegner sikkerhetsgrunnverdien, og Z t representerer settet av tilstandsvariabler som kan påvirke LOB som tidligere handler. Vi ser her en enkel modell for LOB som fanger sin dynamiske natur. Denne modellen lar oss illustrere viktigheten av supplydemand-dynamikk for å analysere det optimale utførelsesproblemet. Vi diskuterer nedenfor hvordan vi skal utvide denne modellen for å bedre passe til den empiriske LOB-dynamikken (Seksjon 8). Den grunnleggende verdien F t følger en brunisk bevegelse som gjenspeiler det faktum at midletekstprisen i mangel av noen handler kan endres på grunn av nyheter om grunnverdien. Dermed er V t F t i fravær av noen handler, og LOB opprettholder den samme formen bortsett fra at midtpunktet V t. endrer seg med F t. For enkelhets skyld antar vi at det eneste settet av relevante tilstandsvariabler Z t er historien til tidligere handler, betegnet av. På tidspunktet 0 er midtkvoten, og LOB har en enkel blokkformetetthet, hvor er startkursprisen og er en indikatorfunksjon: Med andre ord er q 0 en trinnfunksjon av P med et hopp fra null til q på forespørselsprisen. Panel A i figur 1 viser bokens form ved tid 0. Fig. 1. Grenseordreboken og dens dynamikk. Denne figuren illustrerer hvordan salgssiden av grensordreboken utvikler seg over tid som svar på en kjøpshandel. Før handel på tid, er bestillingsboken full på forespørselsprisen, som vises i første panel fra venstre. Handelen med størrelse x 0 på t 0 spiser bestillingene på boka med de laveste prisene og skyver spørprisen opp til, som vist i det andre panelet. I de følgende perioder kommer nye ordrer til forespørselsprisen A t. Disse ordrene fyller opp boken og senker forespørselsprisen til denne prisen konvergerer til sin nye steady state, som vist i det siste panelet til høyre. For klarhet antar vi at det ikke er grunnleggende sjokk i denne perioden. Nå vurderer vi en kjøpshandel med størrelse x 0 aksjer på t 0. Handelen vil spise av alle salgsordrer med priser fra opp til, hvor er gitt av Fra denne formelen finner vi at den nye prisen er. Gjennomsnittlig eksekveringspris for handel x 0 er lineær i størrelsen på handel og er lik. Dermed er blokkeringsformen til LOB-konsistensen i samsvar med den lineære prispåvirkningsfunksjonen antatt i tidligere arbeid. Dette er også den viktigste grunnen til at vi vedtatt denne spesifikasjonen her. Rett etter handelen er grenseordreboken beskrevet som hvor er den nye tilbudsprisen. Ordrer til priser under har alle blitt utført. Boken er igjen med salgsbegrensningsordre til priser over (inkludert). Panel B i figur 1 tegner grensebestemmelsesboken rett etter handelen. 3.2 Limit order book dynamics Vi spesifiserer nå hvordan LOB utvikler seg over tid etter å ha blitt truffet av en handel. Dette belyser hvordan nye salgsbegrensningsordre kommer til å fylle boken. Først må vi spesifisere virkningen av handelen på mid-quote-prisen. Vanligvis vil kvoteprisen bli skiftet opp av handelen. Vi antar at skiftet i mid-quote-prisen er lineær i størrelsen på totalhandel. Det er, hvor og tilsvarer den permanente prispåvirkningen av handel x 0. Hvis førstegangshandelen x 0 ved t 0 ikke følges av andre handler, og hvis det ikke er noen sjokk på grunnleggende, så når tiden t går til uendelig, rammer grenseordboken til slutt til sin nye steady state: hvor den nye mid-quote og spør prisen. Deretter må vi spesifisere hvordan grensebestemmelsesboken konvergerer til stabil tilstand. Merk at etter handelen er spørprisen, mens den er i jevn tilstand. Forskjellen mellom de to er. Vi antar at grensordreboken konvergerer til sin steady state eksponentielt, i fravær av nye handler og endringer i grunnleggende F t. og parameteren tilsvarer konvergenshastigheten, som måler motstanden til LOB. Hvis vi definerer D t er avviket fra gjeldende forespørselspris A t fra sitt steady state nivå, så Eqs. (5) og (6) innebærer at etter en kjøpshandel x 0. De nye salgsbegrensningsordrene vil begynne å komme inn i boken ved den nye forespørselsprisen A t på frekvensen av. Således, jo lenger den nåværende spørprisen er fra sin faste tilstand, desto mer aggressive likviditetsleverandører går inn og legger nye ordrer til å tilby etterfylt likviditet. Panel C til Panel E i figur 1 illustrerer tidsutviklingen av LOB etter en kjøpshandel. Vi kan enkelt utvide LOB-dynamikken for å tillate flere handler og støt på grunnverdien. La n (t) angi antall handler under intervallet. Definer en handelssekvens med n (t) handler i tider med størrelse. La X t være den gjenværende rekkefølgen som skal utføres ved tid t. før handel på tidspunkt t oppstår. Vi har og Hvis er summen av innkjøp i løpet av, så er midtkvoten V t til enhver tid t Askprisen når som helst t er og grenseordreboken er gitt av (5). Ovennevnte beskrivelse kan utvides til å inkludere salgsordrer, noe som kan oppstå i mellomtiden og skifter midtkvoten V t. Men hvis de ikke er forutsigbare, kan vi ganske enkelt utelate dem, da de ikke vil påvirke vår analyse. Før vi går videre med LOB-dynamikken og undersøker dens implikasjoner for utførelsesstrategi, er flere kommentarer i orden. For det første er nøkkelfunksjonen til LOB sin endelige motstandsevne, som er fanget av oppdateringshastigheten til boken. Dette er motivert av en rekke empiriske bevis som de som er dokumentert i Biais, Hillion og Spatt (1995). Hamao og Hasbrouck (1995). og Coppejans, Domowitz og Madhavan (2004). blant andre. For det andre, selv om LOB-dynamikken spesifisert her er tatt som gitt, uten ytterligere likevektsjustering, er dens kvalitative oppførsel, nemlig den endelige motstanden, i samsvar med de som oppnås i enkle likevektsmodeller av LOB-markeder, betraktet av Foucault, Kadan og Kandel (2005 ) og Goettler, Parlou og Rajan (2005). 9 For det tredje er eksisterende likevektsmodeller utilstrekkelige for å analysere problemet med utførelse som de begrenser de antagelige strategiene sterkt ved å begrense handelsstørrelsen og frekvensen. For å kunne utvikle en full likevektsmodell for utførelsesproblemet må vi først kjenne sin løsning under generell kravforsyningsdynamikk og nå til likevektsdynamikk. Fra dette synspunktet fokuserer dette papiret på den første delen av dette forpliktelsen. For det fjerde er vår innstilling svært fleksibel i å tillate en vilkårlig form av boken og rik dynamikk for sin tidevolusjon som svar på et vilkårlig sett av handler. Siden hovedmålet med dette papiret er å demonstrere betydningen av supplydemanddynamikk ved å bestemme optimal tradingadferd i stedet for å få en generell løsning på problemet, innsnevrer vi analysen til et bestemt tilfelle av den generelle innstillingen. De kvalitative konklusjonene vi oppnår fra det enkle tilfellet, forblir robuste når flere generelle former for boken og dens dynamikk er tillatt, slik oppfølgingsforskning har vist (for eksempel Alfonsi et al., 2010). 3.3 Utførelseskostnad Med LOB-dynamikken kan vi beskrive den totale kostnaden for en utførelsesstrategi for en gitt ordre X 0. La betegne handelen ved tid t n. og angi forespørselsprisen på tidspunktet t n før denne handelen. Siden utviklingen av askprisen A t i (10) ikke er kontinuerlig, betegner vi A t den venstre grensen til A t. , det vil si askprisen før handelen på tidspunktet t. Den samme konvensjonen følges også for V t. Kostnaden for en enkelt handel er da gitt av For den blokkformede LOB gitt i (5). Vi har og Den totale kostnaden for handler av størrelse, er. Dermed reduseres det optimale utførelsesproblemet (3) til under LOB-dynamikken gitt i (9) og (10). 4 Konvensjonelle modeller som et spesielt tilfelle Tidligere arbeid med optimal utførelsesstrategi bruker vanligvis en diskret tidsinnstilling med faste tidsintervaller (for eksempel Bertsimas og Lo, 1998. Almgren og Chriss, 1999 og Almgren og Chriss, 2000). En slik innstilling unngår imidlertid spørsmålet om hvordan man bestemmer de optimale handelstidene. I denne delen viser vi at det representerer et spesielt tilfelle av våre rammer med spesifikke begrensninger på LOB-dynamikken, noe som fører til avgjørende begrensninger. 4.1 Konvensjonell oppsett Vi vurderer først en enkel diskret tidsinnstilling som ble foreslått av Bertsimas og Lo (1998). som fanger de grunnleggende funksjonene til modellene som ble brukt i tidligere arbeid. I en slik innstilling handler handelsmannen ved faste like tidsavbrudd, hvor og, mens handelshorisonten T og antall handler N er gitt. Hver handel har innvirkning på prisen, noe som vil påvirke den totale kostnaden for handel og alle fremtidige bransjer. De fleste modeller antar en lineær prispåvirkningsfunksjon av følgende form: hvor abonnementet n betegner den n-handel på, er gjennomsnittsprisen der handel x n utføres med, er prispåvirkningskoeffisienten, og u er en i. i.d. tilfeldig variabel med et middel på null og en varians av. Disse forutsetningene er rimelige gitt konklusjonen av Huberman og Stanzl (2004) at i fravær av kvasi-arbitrage må permanente prispåvirkningsfunksjoner være lineære. I den andre ligningen har vi satt. Parameter fanger den permanente prispåvirkningen av en handel. Trader som ønsker å utføre en ordre med størrelse X 0 løser følgende problem: Hvor er definert i (15) og X n er et antall aksjer igjen som skal kjøpes på tidspunktet t n (før handel) med. Som vist i Bertsimas og Lo (1998). gitt at objektivfunksjonen er kvadratisk i x n. Det er optimalt for næringsdrivende å dele sin ordre i små handler av like store størrelser og utføre dem med jevne mellomrom i løpet av den faste tidsperioden: 4.2 Kontinuerlig tidsbegrensning Selv om diskretidsinnstillingen med en lineær prispåvirkningsfunksjon gir en enkel og intuitiv løsning, etterlater det et nøkkelspørsmål ubesvart, nemlig hva som bestemmer tidsintervallet mellom bransjer. En intuitiv måte å løse dette spørsmålet på er å ta kontinuerlig tidsbegrensning for diskret tidsløsningen (dvs. å la N gå til uendelig). Imidlertid, som Huberman og Stanzl (2005) påpeker, har løsningen til diskretidsmodellen (16) ikke en veldefinert kontinuerlig tidsbegrensning. In fact, as , the cost of the trades as given in (16) approaches the following limit of: This limit depends only on the total trade size X 0 and not on the actual trading strategy itself. Thus, for a risk-neutral trader, the execution cost with continuous trading is a fixed number and any continuous strategy is as good as another. Consequently, the discrete-time model does not have a well-behaved continuous-time limit. 10 The intuition is that a trader can simply walk up the supply curve, and the speed of his trading is irrelevant. Without increasing the cost, the trader can choose to trade intensely at the very beginning and complete the whole order in an arbitrarily small period. For example, if the trader becomes slightly risk averse, he will choose to finish all the trades right at the beginning, irrespective of their price impact. 11 Such a situation is clearly undesirable and economically unreasonable. 4.3 A special case of our framework We can see the limitations of the conventional model by considering it as a special case of our framework. Indeed, we can specify the parameters in the LOB framework so that it will be equivalent to the conventional setting. First, we set the trading times at fixed intervals: , . Next, we make the following assumptions about the LOB dynamics as described in (5) and (9) : where the second equation simply states that the price impact coefficient in the LOB framework is set to be equal to its counterpart in the conventional setting. These restrictions imply the following dynamics for the LOB. As it follows from (10). after the trade x n at t n ( ), the ask price jumps from level to level . Since resilience is infinite, over the next period, ask price comes all the way down to the new steady state level of (assuming no fundamental shocks from t n to ). Thus, the dynamics of ask price is equivalent to the dynamics of in (15) . For the parameters in (18). the cost for trade is given in (13). which becomes which is the same as the trading cost in the conventional model (16). Thus, the conventional model is a special case of the LOB framework with the parameters in (18) . The main restrictive assumption we have to make to obtain the conventional setup is . This assumption means that the LOB always converges to its steady state before the next trading time. This is not crucial if the time between trades is held fixed. If the time between trades is allowed to shrink, this assumption becomes unrealistic. It takes time for the new limit orders to come in to fill up the book again. In reality, the shape of the limit order book after a trade depends on the flow of new orders as well as the time elapsed. As the time between trades shrinks to zero, the assumption of infinite recovery speed becomes less reasonable and gives rise to the problems in the continuous-time limit of the conventional model. 4.4 Temporary price impact This problem has led several authors to modify the conventional setting. He and Mamaysky (2005). for example, directly formulate the problem in continuous-time and impose fixed transaction costs to rule out any continuous trading strategies. Similar to the more general price impact function considered by Almgren and Chriss, 1999 and Almgren and Chriss, 2000 and Huberman and Stanzl (2005) proposes a temporary price impact of a particular form to penalize high-intensity continuous trading. Both of these modifications limit us to a subset of feasible strategies, which is in general sub-optimal. Given its closeness to our paper, we now briefly discuss the modification with a temporary price impact. Almgren and Chriss, 1999 and Almgren and Chriss, 2000 include a temporary component in the price impact function, which can depend on the trading interval . The temporary price impact gives additional flexibility in dealing with the continuous-time limit of the problem. In particular, they specify the following dynamics for the execution prices of trades: where is the same as given in (15). is the time between trades, and describes a temporary price impact and reflects temporary price deviations from equilibrium caused by trading. With and , the temporary price impact penalizes high trading volume per unit of time, . Using a linear form for , , it is easy to show that as N goes to infinity, the expected execution cost approaches to (e. g. Grinold and Kahn, 2000 Huberman and Stanzl, 2005 ). Clearly, with the temporary price impact, the optimal execution strategy has a continuous-time limit. In fact, it is very similar to its discrete-time counterpart: This strategy is deterministic and the trading intensity, defined by the limit of , is constant over time. 12 The temporary price impact reflects an important aspect of the market, namely, the difference between short-term and long-term supplydemand. If a trader speeds up his buy trades, as he can do in the continuous-time limit, he will deplete the short-term supply and increase the immediate cost for additional trades. As more time is allowed between trades, supply will gradually recover. However, as a heuristic modification, the temporary price impact does not provide an accurate and complete description of the supplydemand dynamics. This leads to several drawbacks. For example, the temporary price impact function in the form considered by Almgren and Chriss (2000) and Huberman and Stanzl (2005) rules out the possibility of discrete trades. This is not only artificial but also undesirable. As we show later, the optimal execution strategy generally involves both discrete and continuous trades. Moreover, introducing the temporary price impact does not capture the full dynamics of supplydemand. For example, two sets of trades close to each other in time versus far apart will generate different supplydemand dynamics, while in Huberman and Stanzl (2005) they lead to the same dynamics. Finally, simply specifying a particular form for the temporary price impact function says little about the underlying economic factors that determine it. 5 Discrete-time solution We now return to our general framework and solve for the optimal execution strategy. Suppose that trading times are fixed at , where and . We consider the corresponding strategies within the strategy set defined in Section 2. Using (3). (9). (10) and (14). the optimal execution problem is reduced to where F t follows a random walk. This problem can be solved using dynamic programming. Proposition 1 The solution to the optimal execution problem (20) is with and . The expected cost for future trades under the optimal strategy is determined according to The table reports values of optimal discrete trades x 0 and x T at the beginning and the end of the trading horizon and the intensity of continuous trades in between for an order of for different values of the LOB resilience parameter or the half-life of an LOB disturbance , which is defined as . The initial ask price is 100, the market depth is set at q 5,000 units, the (permanent) price-impact coefficient is set at , and the trading horizon is set at T 1 day, which is 6.5 hours (390 minutes). Table 2 reports the relative improvement in the expected net execution cost by the optimal execution strategy over the simple strategy of the conventional setting. Let us first consider the extreme case in which the resilience of the LOB is very small, e. g. and the half-life for the LOB to rebuild itself after being hit by a trade is 693.15 days. In this case, even though the optimal execution strategy looks very different from the simple execution strategy, as shown in Fig. 4. the improvement in execution cost is minuscule. This is not surprising as we know the execution cost becomes strategy independent when . For a modest value of , e. g. with a half life of 135 minutes (2 hours and 15 minutes), the improvement in execution cost ranges from 4.32 for to 11.92 for . When becomes large and the LOB becomes very resilient, e. g. and the half-life of LOB deviation is 0.90 minute, the improvement in execution cost becomes small again, with a maximum of 0.33 when . This is again expected as we know that the simple strategy is close to the optimal strategy when (as in this limit, the cost becomes strategy independent). Table 2. Cost savings by the optimal execution strategy from the simple trading strategy. Relative improvement in expected net execution cost is reported for different values of LOB resilience coefficient and the permanent price-impact coefficient . The order size is set at 100,000, the market depth is set at q 5,000, and the horizon for execution is set at T 1 day (equivalent of 390 minutes). Fig. 4. Optimal strategy versus simple strategy from the conventional models. The figure plots the time paths of remaining order to be executed for the optimal strategy (solid line) and the simple strategy obtained from the conventional models (dashed line), respectively. The order size is set at , the initial ask price is set at 100, the market depth is set at q 5,000 units, the (permanent) price-impact coefficient is set at , and the trading horizon is set at T 1 day, which is assumed to be 6.5 hours (390 minutes). Panels A, B, and C plot the strategies for and 1,000, respectively. Table 2 also reveals an interesting result. The relative savings in execution cost by the optimal execution strategy is the highest when , i. e. when the permanent price impact is zero. Of course, the magnitude of net execution cost becomes very small as goes to zero. 13 In order to see the difference between the optimal strategy and the simple strategy obtained in conventional settings, we compare their profiles X t in Fig. 4. The solid line shows the optimal execution strategy of the LOB framework and the dashed line shows the execution strategy of the conventional setting. Obviously, the difference between the two strategies are more significant for smaller values of . 8 Extensions We have used a parsimonious LOB model to analyze the impact of supplydynamics on optimal execution strategy. Obviously, the simple characteristics of the model does not reflect the richness in the LOB dynamics observed in the market. The framework we developed, however, is quite flexible to allow for extensions in various directions. In this section, we briefly discuss some of them. 8.1 Time varying LOB resilience Our model can easily incorporate time variation in LOB resilience. It has been documented that trading volume, order flows, and transaction costs all exhibit U-shaped intraday patterns. These variables are high at the opening of the trading day, then fall to lower levels during the day and finally rise again towards the close of a trading day. This suggests that the liquidity in the market may well vary over a trading day. Monch (2004) has attempted to incorporate such a time-variation in the conventional models. We can easily allow for deterministic time variation in LOB dynamics. In particular, we can allow the resilience coefficient to be time dependent, for . The results in Proposition 1. Proposition 2 and Proposition 3 still hold if we replace by , by , and by . 8.2 Different shapes for LOB We have considered a simple shape for the LOB described by a step function with the constant density of limit orders placed at various price levels. As shown in Section 3. this form of the LOB is consistent with the static linear price-impact function widely used in the literature. Although Huberman and Stanzl (2004) have provided theoretical arguments in support of the linear price impact functions, the empirical literature has suggested that the shape of the LOB can be more complex (e. g. Hopman, 2007 ). Addressing this issue, we can allow more general shapes of the LOB in our framework. This will also make the LOB dynamics more convoluted. As a trade eats away the tip of the LOB, we have to specify how the LOB converges to its steady state. With a complicated shape for the LOB, this convergence process can take many forms. Modeling more complex shapes of the LOB involves assumptions about the flow of new orders at a range of prices. Recently, Alfonsi, Schied, and Schulz (2009) extended our analysis to LOB with a general density of placed limit orders. Remarkably, the authors find a close-form solution for a broad class of limit-order books and show that the suggested optimal strategies are qualitatively similar to those derived for a block-shaped LOB. Their findings thus confirm the robustness of our results. 8.3 Risk aversion We have considered the optimal execution problem for a risk-neutral trader. We can extend our framework to consider the optimal execution problem for a risk-averse trader as well. For tractability, we assume that this trade has a mean-variance objective function with a risk-aversion coefficient of a . The optimization problem (30) now becomes with (9). (28) and (29). At time T . the trader is forced to buy all of the remaining order X T . This leads to the following boundary condition: Since the only source of uncertainty in (32) is F t and only the trades executed in interval will be subject to uncertainty in F t . we can rewrite this formula in a more convenient form: Proposition 4 gives the solution to the problem for a risk-averse trader: Proposition 4 The optimal execution strategy for the optimization problem (33) is The value function is determined by where . The coefficients are given by It can be shown that as the risk aversion coefficient a goes to 0, the coefficients , , and converge to those in Proposition 2 that were obtained for a risk-neutral trader. The nature of the execution strategy that is optimal for a risk-averse trader remains qualitatively similar to the strategy that is optimal for a risk-neutral trader. A risk-averse trader will place discrete trades at the beginning and at the end of trading period and trade continuously in between. The initial and final discrete trades are, however, of different magnitude. The more risk averse the trader is, the faster he wants to execute his order to avoid future uncertainty and the more aggressive orders he submits in the beginning. The effect of traders risk aversion a on the optimal trading profile is shown in Fig. 5 . Fig. 5. Profiles of optimal strategies for different coefficients of risk aversion a . This figure shows the profiles of optimal execution policies X t for the traders with different coefficients of risk aversion a 0 (solid line), a 0.05 (dashed line), and a 0.5 (dashed-dotted line) and a 1 (dotted line), respectively. The variable X t indicates how much shares still has to be executed before trading at time t . The order size is set at , the market depth is set at q 5,000 units, the permanent price-impact coefficient is set at , the trading horizon is set at T 1, and the resilience coefficient is set at . 9 Conclusion In this paper, we examine how the limited elasticity of the supplydemand of a security affects trading behavior of market participants. Our main goal is to demonstrate the importance of supplydemand dynamics in determining optimal trading strategies. The execution of orders is usually not costless. The execution prices are different from pre-trade benchmarks, since implemented transactions consume liquidity and change the remaining supplydemand. The supplydemand schedule right after a transaction will be determined by its static properties. Furthermore, trades often trigger a complex evolution of supplydemand. Rather then being permanent, its initial changes may partially dissipate over time as liquidity providers step in and replenish liquidity. Thus, supplydemand represents a complex object in the marketplace that changes in response to executed trades. While designing trading strategies traders have to take into account a full dynamics of supplydemand since their transactions are often spread over time. In this paper, we focus on the optimal execution problem faced by a trader who wishes to execute a large order over a given period of time. We explicitly model supplydemand as a limit order book market. The shape of a limit-order book determines static properties of supplydemand such as bidask spread and price impact. The dynamics of a limit order book in response to trades determines its dynamic properties such as resilience. We are interested in how various aspects of liquidity influence trading strategies. We show that when trading times are chosen optimally, the resilience is the key factor in determining the optimal execution strategy. The strategy involves discrete trades as well as continuous trades, instead of merely continuous trades as in previous work that focuses only on price impact and spread. The intuition is that traders can use discrete orders to aggressively consume available liquidity and induce liquidity providers to step in and place new orders into the trading system, thus making the execution of future trades cheaper. The developed framework for supplydemand is based on the limit order book market for convenience. Our main conclusions remain applicable to any other market structures. The framework is fairly general to accommodate rich forms of supplydemand dynamics. It represents a convenient tool for those who wish to fine-tune their trading strategies to realistic dynamics of supplydemand in the marketplace. Appendix A A.1 Proof of Proposition 1 From (A.1). the dynamics of D t between trades will be